Semnale și fluxuri binare periodice

Semnale și fluxuri binare periodice, Nova publishers, New York, 2016

Hardcover: https://www.novapublishers.com
E-book: https://www.novapublishers.com

Sistemele asincrone regulate deterministe autonome booleene au fost definite pentru întâia oară în lucrarea noastră Boolean dynamical systems, ROMAI Journal, vol. 3, Nr. 2, 277-324, (2007) şi un studiu mai aprofundat a acestor sisteme poate fi găsit în "Asynchronous systems theory", second edition, LAP LAMBERT Academic Publishing, Saarbrucken, (2012). Conceptul îşi are originea în teoria circuitelor de comutaţie (switching theory), cea care modelează circuitele din electronica digitală. Atributul boolean se referă vag la algebra Boole cu două elemente; autonom însemnă că nu există intrare; determinism înseamnă existenţa unei funcţii de stare unică; şi regularitatea indică existenţa unei funcţii $\Phi:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}^{n},\Phi=(\Phi_{1},...,\Phi_{n})$ care 'generează' sistemul. Mulţimea timpului este discretă: {-1,0,1,...} sau continuă: R. Sistemul, care este analog sistemelor dinamice (reale, obişnuite), iterează (în mod asincron) pe fiecare coordonată i, una dintre

- $\Phi_{i}$: spunem că $\Phi$ e calculat, la acel moment de timp, pe acea coordonată;
- proiecţia lui ${0,1}^{n}$ pe a i-a coordonată: obişnuim să spunem că $\Phi$ nu e calculat, la acel moment de timp, pe acea coordonată.

Fluxurile sunt acelea care rezultă prin analogie cu sistemele dinamice. Funcţiile 'plăcute' de timp discret sau de timp real cu care lucrează sistemele asincrone (booleene) se numesc semnale şi periodicitatea este o trăsătură importantă în natură.

În primele două capitole dăm cele mai importante concepte privitoare la semnale şi periodicitate. Proprietăţile de periodicitate sunt folosite pentru a caracteriza semnalele final constante în Capitolul 3 şi semnalele constante în Capitolul 4. Capitolele 5,...,8 sunt dedicate punctelor final periodice, semnalelor final periodice, punctelor şi semnalelor periodice.

Capitolul 9 dă construcţii care, dat un punct (final) periodic, prin schimbarea unor valori ale semnalului, schimbă proprietăţile de periodicitate ale punctului.

Monografia continuă cu fluxuri. Capitolul 10 este dedicat funcţiilor de calcul, i.e. acelor funcţii care arată când şi cum funcţia $\Phi$ se iterează (în mod asincron). Capitolul 11 prezintă fluxurile şi Capitolul 12 dă un punct de vedere mai larg asupra fluxurilor, care sunt interpretate ca sisteme asincrone deterministe. Capitolele 13,...,15 reiau subiectele capitolelor 3,...,8 în cazul particular când semnalele sunt fluxuri şi interesul principal este periodicitatea.

Bibliografia constă în general în lucrări de sisteme dinamice (reale, obişnuite) şi folosim analogii. Cartea se termină cu o listă de notaţii, o anexă cu noţiuni şi o altă anexă cu leme. Aceste leme sunt frecvent folosite în expunere şi unele dintre ele sunt interesante ca rezultate de sine stătătoare.

Cartea este structurată în capitole, fiecare capitol constă în mai multe secţiuni şi fiecare secţiune este structurată în paragrafe. Capitolele încep cu un rezumat. Paragrafele sunt de următoarele tipuri: definiţii, notaţii, observaţii, teoreme, corolare, leme, exemple şi propoziţii. Fiecare tip de paragraf e numerotat separat de celelalte. În interiorul paragrafelor, egalităţile şi, mai general, cele mai importante afirmaţii sunt numerotate de asemenea. Când ne referim la afirmaţia (x,y) acest lucru însemnă a y-a afirmaţie din a x-a secţiune a capitolului curent. Uneori scriem (x,y)_{pagina z} pentru a indica pagina unde apare afirmaţia.
Ne referim la o definiţie, teoremă, exemplu,... indicându-i numărul şi, când e necesar, pagina.

O problemă deschisă pe care am gasit-o în timpul acestor investigaţii e următoarea. Dacă o funcţie este periodică, atunci valorile sale sunt periodice. Este adevărată afirmaţia inversă? Dacă toate valorile unei funcţii sunt periodice, există posibilitatea ca intersecţia mulţimilor perioadelor lor să fie vidă? Atunci semnalul nu e periodic.

Cartea se adresează cercetătorilor de teoria sistemelor şi informatică teoretică, dar e de asemenea interesantă pentru aceia care studiază periodicitatea însăşi. Din această ultimă perspectivă, semnalele binare pot fi gândite ca funcţii cu un număr finit de valori.